polexpr et xint : applications (1)

polexpr et xint sont deux packages créés par Jean-François Burnol, disponibles sur le serveur du CTAN :

https://ctan.org/pkg/polexpr

https://ctan.org/pkg/xint 

 xint qui permet les calculs sur les très grands nombres est constitué de plusieurs modules.
polexpr permet de faire du calcul formel et numérique avec des polynômes ayant des coefficients rationnels (ou en notation scientifique) :  calcul de dérivées, de PGCD, calcul du « contenu de Gauss » (générateur de l'idéal fractionnaire engendré par les coefficients), possibilité de trouver toutes les racines réelles avec une précision arbitrairement grande (et leurs multiplicités) et d'identifier au passage toutes les racines rationnelles, et de produire le polynôme obtenu en supprimant toutes les racines rationnelles, ou en supprimant toutes les multiplicités.
Pour le moment, polexpr (qui en est à la version 0.7.4) a les limitations suivantes :

1. il ne connaît pas les nombres complexes,
2. il ne connaît pas les fractions rationnelles (mais on peut ajouter des macros, comme dans le travail de Jürgen Gilg et Thomas Söll),
3. il ne sait manipuler qu'une seule variable formelle à la fois,
4. il représente intérieurement les polynômes par la suite de leurs coefficients, ce qui rend peu efficace la manipulation de polynômes de grands degrés comme x^1000-1.

 Les outils fournis ces packages sont très puissants et leur exécution très rapide. Jürgen Gilg et Thomas Söll séduits et enthousiasmés par les possibilités offertes pas ces packages ont écrit des applications à partir du travail de Jean-François Burnol et ont fait des liens, quand il  était utile d'avoir des représentations graphiques, avec PSTricks.
 Les commandes écrites par Jürgen Gilg et Thomas Söll sont dans le préambule des documents, ils envisagent d'en faire un package avec la documentation.
 Les documents, source .tex et pdf sont dans le répertoire :

 xint-polexpr

Le fichier zippé les contient tous.
 Il m'est difficile de donner un aperçu de cette première série d'applications(j'espère que Jürgen Gilg et Thomas Söll en enverront d'autres) dans cette page, car elle n'est pas configurée pour afficher des équations mathématiques.
Dans polynom-example.tex, la courbe d'équation f'(x)=x^3+7x^2+14x+8 est étudiée, ses dérivées première et deuxième calculées ainsi que l'équation de la tangente en un point, PSTricks en fait les représentations graphiques.

 Dans le fichier Calculations-matrices.tex, vous y verrez une démonstration de la puissance du calcul matriciel exploitant les extraordinaires possibilités des packages polexpr et xint mises en œuvre par Jürgen Gilg et Thomas Söll.
 Dans le fichier RationalFunction.tex, ils étudient une fonction rationnelle, en font calculer les dérivées jusqu'au troisième ordre :

et dessiner les représentations graphiques par PSTricks :

Tous les fichiers concernant les applications des extensions polexpr et xint de Jean-François Burnol présentées dans ce blog et des exemples d'utilisation de celles-ci avec PSTricks sont disponibles aussi sur :

https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/