http://pstricks.blogspot.com/2019/05/la-houle-de-gerstner.html
sous forme de package, avec une option supplémentaire pour représenter ou non un petit bateau sur la surface.
Les fichiers sont accessibles ici :
dimanche 26 mai 2019
La houle de Gerstner (2)
Mise à jour de la version (1) :
http://pstricks.blogspot.com/2019/05/la-houle-de-gerstner.html
sous forme de package, avec une option supplémentaire pour représenter ou non un petit bateau sur la surface.
Les fichiers sont accessibles ici :
http://pstricks.blogspot.com/2019/05/la-houle-de-gerstner.html
sous forme de package, avec une option supplémentaire pour représenter ou non un petit bateau sur la surface.
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jeudi 23 mai 2019
La houle de Gerstner
Sur une idée de Jürgen Gilg, voici une représentation de la houle de Gerstner avec PSTricks.
Dans son livre ,“Houle, rides, seiches et marées” publié à Paris en 1924 par la librairie Delagrave, Henri Bouasse fait une étude très détaillée du phénomène de la houle. La chapitre I est intitulé “Houle progressive’ et en sous-titre “Houle de Gerstner (profondeur infinie)”.
Je reproduis la présentation de ce chapitre.
La houle est constituée par des intumescences cylindriques (à génératrices horizontales), identiques, parallèles, équidistantes, qui se propagent à la surface du liquide normalement aux génératrices (transversalement), sans déformation et avec une vitesse uniforme.
[...]
le lecteur ne s'étonnera donc pas qu'il existe deux types de houles, obéissant à des lois différentes, l'une admettant un potentiel de vitesses, l'autre n'en admettant pas. La houle la plus simple (au moins pour une profondeur infinie) est celle dont Gerstner (en 1801), Rankine (en 1865) ont donné les lois : le mouvement des particules n'admet pas un potentiel de vitesses.
Dans cette houle (en eau profonde), les particules conservent indéfiniment leurs positions moyennes, elles décrivent des orbites fermées circulaires qui sont dans des plans verticaux, parallèles à la propagation et dont les rayons décroissent à mesure qu'on s'éloigne de la surface.
[...]
La houle de Gerstner est encore dite trochoïdale : son profil est un trochoïde, comme cas limite d'une cycloïde : il admet alors des points de rebroussement.
Les coordonnées de chaque particule sont :
\begin{align*}
x&=x_0-R_0e^{Kz_0}\sin(Kx_0-\omega t)\\
z&=z_0+R_0e^{Kz_0}\cos(Kx_0-\omega t)
\end{align*}
avec $K=\frac{2\pi}{\lambda}$.
La commande \psHouleGerstner[options]{t}, $t$ est le temps en secondes, qui comprend diverses options, permet la représentation de la Houle de Gerstner.
Cette commande est un essai de reproduction du Gif animé Dan Russel :
https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/waves/wavemotion.html
Les fichiers sont accessibles ici : La houle de Gerstner
Quelques animations créées avec cette commande :
Dans son livre ,“Houle, rides, seiches et marées” publié à Paris en 1924 par la librairie Delagrave, Henri Bouasse fait une étude très détaillée du phénomène de la houle. La chapitre I est intitulé “Houle progressive’ et en sous-titre “Houle de Gerstner (profondeur infinie)”.
Je reproduis la présentation de ce chapitre.
La houle est constituée par des intumescences cylindriques (à génératrices horizontales), identiques, parallèles, équidistantes, qui se propagent à la surface du liquide normalement aux génératrices (transversalement), sans déformation et avec une vitesse uniforme.
[...]
le lecteur ne s'étonnera donc pas qu'il existe deux types de houles, obéissant à des lois différentes, l'une admettant un potentiel de vitesses, l'autre n'en admettant pas. La houle la plus simple (au moins pour une profondeur infinie) est celle dont Gerstner (en 1801), Rankine (en 1865) ont donné les lois : le mouvement des particules n'admet pas un potentiel de vitesses.
Dans cette houle (en eau profonde), les particules conservent indéfiniment leurs positions moyennes, elles décrivent des orbites fermées circulaires qui sont dans des plans verticaux, parallèles à la propagation et dont les rayons décroissent à mesure qu'on s'éloigne de la surface.
[...]
La houle de Gerstner est encore dite trochoïdale : son profil est un trochoïde, comme cas limite d'une cycloïde : il admet alors des points de rebroussement.
Les coordonnées de chaque particule sont :
\begin{align*}
x&=x_0-R_0e^{Kz_0}\sin(Kx_0-\omega t)\\
z&=z_0+R_0e^{Kz_0}\cos(Kx_0-\omega t)
\end{align*}
avec $K=\frac{2\pi}{\lambda}$.
La commande \psHouleGerstner[options]{t}, $t$ est le temps en secondes, qui comprend diverses options, permet la représentation de la Houle de Gerstner.
Cette commande est un essai de reproduction du Gif animé Dan Russel :
https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/waves/wavemotion.html
Les fichiers sont accessibles ici : La houle de Gerstner
Quelques animations créées avec cette commande :
mardi 21 mai 2019
Le canon de Galilée
Le principe du canon de Galilée est de poser une petite balle sur une plus grosse et de laisser tomber l'ensemble d'une certaine hauteur. Après l'impact sur le sol la petite balle est propulsée très haut, ce qui est très spectaculaire. On peut rendre ce phénomène encore plus spectaculaire en disposant verticalement plusieurs balles de tailles différentes, la plus petite au-dessus de la pile, la plus grosse au-dessous. Ce dispositif est commercialisé sous le nom d'Astroblaster et a fait l'objet de nombreuses études et simulations, parmi lesquelles, les plus remarquables, me semble-t-il sont :
Vous trouverez dans les documents du répertoire :
une petite étude sans prétention sur le sujet, s'appuyant en partie sur l'article de Marián Kireš.
Pour les animations et la documentation, il y a deux versions, l'une dont les calculs sont faits avec postscript et l'autre avec xint (https://ctan.org/pkg/xint) grâce à Jürgen Gilg.
Voici les animations qui concernent 2 et 3 balles dans le cas où le transfert d'énergie est maximum pour la petite balle qui monte le plus haut possible théoriquement.
Une expérience, illustrant le canon de Galilée, a été réalisée par l'assistant du professeur Gilg Jürgen. Elle est un peu différente des simulations présentées ci-dessus, mais son principe est identique.
- “Astroblaster—a fascinating game of multi-ball collisions” de Marián Kireš ;
- L’animation interactive du professeur Fu-Kwun Hwang, National Taiwan University :Astroblaster Model
- The two-ball bounce problem de Y. Berdeni, A. Champneys et R. Szalai.
Vous trouverez dans les documents du répertoire :
une petite étude sans prétention sur le sujet, s'appuyant en partie sur l'article de Marián Kireš.
Pour les animations et la documentation, il y a deux versions, l'une dont les calculs sont faits avec postscript et l'autre avec xint (https://ctan.org/pkg/xint) grâce à Jürgen Gilg.
Voici les animations qui concernent 2 et 3 balles dans le cas où le transfert d'énergie est maximum pour la petite balle qui monte le plus haut possible théoriquement.
Une expérience, illustrant le canon de Galilée, a été réalisée par l'assistant du professeur Gilg Jürgen. Elle est un peu différente des simulations présentées ci-dessus, mais son principe est identique.
jeudi 16 mai 2019
Traîneau
Dans le cours de Mécanique de Henri Bouasse publié par la librairie Ch. Delagrave à Paris en 1910, on trouve page 207, ce petit problème, intitulé ``Traîneau'', que je reproduis ci-dessous :
Un traîneau de poids $P$ est remorqué sur un plan incliné (faisant avec l'horizon un angle $\alpha$, et dont le coefficient de frottement est $k=\tan \varphi$) par une force $R$ faisant avec le plan incliné l'angle $\beta$.
On demande les conditions d'équilibre.
Voici sa solution :
La pression normale du traîneau sur le plan incliné est :
\[
P\cos \alpha-R\sin \beta
\]
La composante utile de la traction est $R\cos\beta$. On a :
\[
R\cos\beta=P\sin\alpha+k(P\cos\alpha-R\sin\beta)
\]
\[
R=P\dfrac{\sin\alpha+k\cos\alpha}{\cos\beta+k\sin\beta}=P\frac{\sin(\alpha+\varphi)}{cos(\beta-\varphi)}
\]
$R$ est minimum quand le dénominateur est maximum ; il vient alors :
\[
\beta=\varphi\ ,\quad R=P\sin(\alpha+\varphi)\ ;
\]
on doit tirer dans une direction faisant l'angle $\varphi$ avec le plan incliné ; tout se passe comme si l'angle du plan incliné était augmenté de $\varphi$.
Pour le tirage horizontal, on a :
\[
\beta=-\alpha\ , \quad R=P\tan(\alpha+\varphi)\ ;
\]
la force nécessaire au tirage devient infinie pour $\alpha+\varphi=\pi/2$ ; il y a arc-boutement.
Les fichiers sont téléchargeables ici : Traîneau
Un traîneau de poids $P$ est remorqué sur un plan incliné (faisant avec l'horizon un angle $\alpha$, et dont le coefficient de frottement est $k=\tan \varphi$) par une force $R$ faisant avec le plan incliné l'angle $\beta$.
On demande les conditions d'équilibre.
Voici sa solution :
La pression normale du traîneau sur le plan incliné est :
\[
P\cos \alpha-R\sin \beta
\]
La composante utile de la traction est $R\cos\beta$. On a :
\[
R\cos\beta=P\sin\alpha+k(P\cos\alpha-R\sin\beta)
\]
\[
R=P\dfrac{\sin\alpha+k\cos\alpha}{\cos\beta+k\sin\beta}=P\frac{\sin(\alpha+\varphi)}{cos(\beta-\varphi)}
\]
$R$ est minimum quand le dénominateur est maximum ; il vient alors :
\[
\beta=\varphi\ ,\quad R=P\sin(\alpha+\varphi)\ ;
\]
on doit tirer dans une direction faisant l'angle $\varphi$ avec le plan incliné ; tout se passe comme si l'angle du plan incliné était augmenté de $\varphi$.
Pour le tirage horizontal, on a :
\[
\beta=-\alpha\ , \quad R=P\tan(\alpha+\varphi)\ ;
\]
la force nécessaire au tirage devient infinie pour $\alpha+\varphi=\pi/2$ ; il y a arc-boutement.
Les fichiers sont téléchargeables ici : Traîneau
dimanche 5 mai 2019
Distance de freinage
Distance de freinage avec xint et PSTricks par Jürgen Gilg
On dispose des pièces de 20 cts d'€ sur une panneau de bois horizontal, alignées sur une droite, équidistantes les unes des autres.
On donne un choc par un bâton mis en rotation (pour que les vitesses initiales soient différentes) et puis on regarde les distances de freinage.
On constate que les pièces sont une courbe qui ressemble beaucoup à une parabole. Cela implique, que durant leurs parcours, les pièces ont subi une force de frottement constante.
Considérons donc que l'accélération subie par les billes est constante, soit $(-a_0)$.
\begin{align*}
d(t)&=v_0t-\frac{1}{2}a_0t^2\\
v(t)&=v_0-a_0t
\end{align*}
Cela donne une distance de freinage proportionnelle au carré de la vitesse initiale :
\begin{equation*}
d_\text{frein}=\frac{v_0^2}{2a_0}
\end{equation*}
samedi 4 mai 2019
New version pst-marble 1.6
The new version is available:
Some very spectacular new options were integrated by Aubrey Jaffer within this new version pst-marble 1.6
For colors we have: tint, shade and edgy-color.
RGB $\gamma$ tint
Colors within the system RGB modified by the parameter $\gamma$
$0 < \gamma < 1 $ darkens the color; $ \gamma > 1 $ lightens the color; and $ \gamma = 1$ leaves the color unchanged.
RGB $\gamma$ shade
RGB $\zeta$ edgy-color
from the initial color, for $ \zeta > 0 $ one gets a shading effect of color darkend within the center to lightend near the contour, one gets a bigger effect if $\zeta$ is big. We get the inverted with $ \zeta< 0 $.
A marbling with edgy-color by Aubrey Jaffer:
Some shading effects were already introduced by wriggle with the command wriggle-shade :
$x$ $y$ $\lambda$ $\Omega$ $A_s$ wriggle-shade
We take the first three arguments of "wriggle". Contrary to wriggle, wriggle-shade takes a scaling argument $\Omega$.
$A_s$ is not necessarily equal to $A$ to wriggle.
When $ A_s $ is close to zero, the shading will be softer. If $ A_s $ is further from zero, the shading will be darker. As with A in the wriggle command, realistic shading requires $|\pi\,A_s|<|\lambda|$|.
When $ A/\lambda > 0 $ and $\Omega=0$ and $ \Omega = $ 0, the darkest rings are at equal rays at odd multiples of $ \lambda $; otherwise, the darker rings are integer multiples of $ \lambda $ and there is a dark point at $ x, y $.
The difference can be compared between these two papers when applying wriggle-shade.
A simulated nautilus shell on marbled paper with this option:
This option also exists with jiggle-shade.
A new paper option that gives the color to apply to the shadings commands: jiggle-shade or wriggle-shade.
Indicates whether hue (brightening) or shading (darkening) caused by the movement of paper produced from the jiggle-shade or wriggle-shade commands.
Here a magnificent example proposed by Aubrey Jaffer which he calls Moiré:
Some very spectacular new options were integrated by Aubrey Jaffer within this new version pst-marble 1.6
For colors we have: tint, shade and edgy-color.
RGB $\gamma$ tint
Colors within the system RGB modified by the parameter $\gamma$
$0 < \gamma < 1 $ darkens the color; $ \gamma > 1 $ lightens the color; and $ \gamma = 1$ leaves the color unchanged.
from the initial color, for $ \zeta > 0 $ one gets a shading effect of color darkend within the center to lightend near the contour, one gets a bigger effect if $\zeta$ is big. We get the inverted with $ \zeta< 0 $.
$x$ $y$ $\lambda$ $\Omega$ $A_s$ wriggle-shade
We take the first three arguments of "wriggle". Contrary to wriggle, wriggle-shade takes a scaling argument $\Omega$.
$A_s$ is not necessarily equal to $A$ to wriggle.
When $ A_s $ is close to zero, the shading will be softer. If $ A_s $ is further from zero, the shading will be darker. As with A in the wriggle command, realistic shading requires $|\pi\,A_s|<|\lambda|$|.
When $ A/\lambda > 0 $ and $\Omega=0$ and $ \Omega = $ 0, the darkest rings are at equal rays at odd multiples of $ \lambda $; otherwise, the darker rings are integer multiples of $ \lambda $ and there is a dark point at $ x, y $.
The difference can be compared between these two papers when applying wriggle-shade.
A new paper option that gives the color to apply to the shadings commands: jiggle-shade or wriggle-shade.
Indicates whether hue (brightening) or shading (darkening) caused by the movement of paper produced from the jiggle-shade or wriggle-shade commands.
Here a magnificent example proposed by Aubrey Jaffer which he calls Moiré:
pst-marble version 1.6
La nouvelle version est disponible :
Quelques nouveautés très spectaculaires apportées par Aubrey Jaffer dans cette version de pst-marble 1.6
Dans les options de couleur tint, shade et edgy-color.
RGB $\gamma$ tint
Renvoie la couleur codée dans le système RGB modifiée par le facteur $\gamma$
$0 < \gamma < 1 $ fonce la couleur ; $ \gamma > 1 $ éclaircit la couleur ; et $ \gamma = 1$ la laisse inchangée.
RGB $\gamma$ shade
RGB $\zeta$ edgy-color
à partir de la couleur initiale, si $ \zeta > 0 $ on a un dégradé de couleur du plus foncé au centre en s'éclaircissant vers le contour, dégradé d'autant plus marqué que $\zeta$ est grand. On a l'inverse si $ \zeta< 0 $.
Avec edgy-color Aubrey Jaffer a composé le papier marbré suivant :
Les dégradés de couleur ont aussi été introduits dans wriggle avec la commande wriggle-shade
$A_s$ nest pas forcément égal à $A$ de wriggle.
Lorsque $A_s$ est proche de zéro, l'ombrage sera plus doux. Si $A_s$ est plus éloigné de zéro, l'ombrage sera plus foncé. Comme avec A dans la commande wriggle, l'ombrage réaliste nécessite $| \pi\,A_s |<| \lambda|$|.
Lorsque $A/\lambda > 0$ et $\Omega=0$, les anneaux les plus sombres sont à des rayons égaux à des multiples impairs de $\lambda$ ; sinon, les anneaux les plus sombres correspondent à des multiples entiers de $\lambda$ et il existe un point sombre à $x,y$.
On peut comparer entre ces deux papiers la différence lorsqu'on applique wriggle-shade.
Un coquillage nautilus simulé sur papier marbré avec cette option :
Cette option existe aussi avec jiggle-shade.
Une nouvelle option paper qui donne la couleur à appliquer lors les commandes shadings : jiggle-shade ou wriggle-shade.
Indique si la teinte (éclaircissement) ou l'ombrage (assombrissement) causé par le mouvement du papier produit à partir des commandes jiggle-shade ou wriggle-shade.
Voici le magnifique et vaporeux proposé comme exemple par Aubrey Jaffer et qu'il nomme moiré :
Quelques nouveautés très spectaculaires apportées par Aubrey Jaffer dans cette version de pst-marble 1.6
Dans les options de couleur tint, shade et edgy-color.
RGB $\gamma$ tint
Renvoie la couleur codée dans le système RGB modifiée par le facteur $\gamma$
$0 < \gamma < 1 $ fonce la couleur ; $ \gamma > 1 $ éclaircit la couleur ; et $ \gamma = 1$ la laisse inchangée.
RGB $\zeta$ edgy-color
à partir de la couleur initiale, si $ \zeta > 0 $ on a un dégradé de couleur du plus foncé au centre en s'éclaircissant vers le contour, dégradé d'autant plus marqué que $\zeta$ est grand. On a l'inverse si $ \zeta< 0 $.
$x$ $y$ $\lambda$ $\Omega$ $A_s$ wriggle-shade
Elle prend les 3 premiers arguments de "wriggle". Contrairement à wriggle, wriggle-shade prend un argument de décalage $\Omega$.$A_s$ nest pas forcément égal à $A$ de wriggle.
Lorsque $A_s$ est proche de zéro, l'ombrage sera plus doux. Si $A_s$ est plus éloigné de zéro, l'ombrage sera plus foncé. Comme avec A dans la commande wriggle, l'ombrage réaliste nécessite $| \pi\,A_s |<| \lambda|$|.
Lorsque $A/\lambda > 0$ et $\Omega=0$, les anneaux les plus sombres sont à des rayons égaux à des multiples impairs de $\lambda$ ; sinon, les anneaux les plus sombres correspondent à des multiples entiers de $\lambda$ et il existe un point sombre à $x,y$.
On peut comparer entre ces deux papiers la différence lorsqu'on applique wriggle-shade.
Cette option existe aussi avec jiggle-shade.
Une nouvelle option paper qui donne la couleur à appliquer lors les commandes shadings : jiggle-shade ou wriggle-shade.
Indique si la teinte (éclaircissement) ou l'ombrage (assombrissement) causé par le mouvement du papier produit à partir des commandes jiggle-shade ou wriggle-shade.
Voici le magnifique et vaporeux proposé comme exemple par Aubrey Jaffer et qu'il nomme moiré :
vendredi 3 mai 2019
Collisions de Galperin et π
La méthode de G.Galperin pour calculer $\pi$ avait été présentée dans la page :
http://pstricks.blogspot.com/2019/04/la-methode-de-ggalperin-pour-calculer.html
Jean-François Burnol a reconsidéré ce problème et en propose une étude originale et innovante dans un document en deux parties que l'on peut télécharger ici :
En voici une brève présentation.
Dans la première partie sont établis : le nombre de collisions, les vitesses après n collisions(suivant la parité de n), les emplacements des collisions donnés par récurrence et les instants de collisions. Cette partie se conclut par des remarques sur "l’observation amusante de Galperin : pour calculer des décimales de $\pi$ on peut compter les collisions de deux boules de masses différentes convenablement choisies..."
Voici l'illustration du cas particulier où après la dernière collision, la bille $B_1$ reste sur place à la position qu'elle occupait initialement, tandis que la bille $B_2$ part avec la vitesse initiale qu'elle possédait mais dans l'autre sens.
La seconde partie est intitulée "Une limite du système des collisions élastiques de deux boules avec mur réflecteur, lorsque le rapport des masses est infini".
Après un rappel des résultats de la première partie :
Boules $B_1$ de masse $m_1$, $B_2$ de masse $m_2\geq m_1$. La boule $B_1$ est immobile à distance $X$ du mur réflecteur en $x=0$, la boule $B_2$ est animée d'une vitesse $V$ négative et vient heurter $B_1$ par la droite.
L'auteur y introduit la notion de "Ligne d’univers hyperbolique" pour les boules.
Voici quelques idées suivies par l'auteur (il s'agit de son texte, on se reportera au texte complet, ci-dessous un dessin extrait du document pour donner un sens aux propos qui suivent) :
Afin de donner une interprétation géométrique de la trajectoire dans l'espace-temps de $B_2$ en termes de tangentes à une hyperbole (qui correspondrait au cas idéal d'un nombre infini de collisions avec $B_1$ de masse nulle) :
D'abord $B_2$ se déplace le long de l'asymptote dans le passé à l'hyperbole $\mathcal{H}$.
À un certain moment elle heurte la boule $B_1$. Elle prend alors la direction de l'unique tangente à l'hyperbole qui passe par sa position $(x,t)$.
Elle poursuit sur cette tangente au-delà du point de contact jusqu'à se trouver sur une autre hyperbole c$\mathcal{H}$ qui est $\mathcal{H}$ modulo une multiplication des $x$ par un coefficient c.
C'est la deuxième collision avec $B_1$ et la trajectoire est alors modifiée pour suivre à nouveau une tangente à $\mathcal{H}$ etc...
Les paramètres sont liés par la relation suivante :
en supposant que les droites asymptotes à l'hyperbole s'intersectent en $(0, 0)$
Si $X$ est la position du premier choc et $x_0$ celle du sommet de l'hyperbole, alors
$c = \cos(\phi)$ avec $\phi$ l'angle du triangle rectangle de côtés $X$ et $x_0$, soit encore
$\tan(\phi) = x_0/X$,
$\sin(\phi) = x_0/\sqrt{x_0^2+X^2}$,
et donc
$c = X/\sqrt{x_0^2 + X^2}$
Physiquement $X/x_0$ est la racine carrée du rapport des masses.
L'hyperbole étant donnée (d'asymptotes de pentes -V et +V respectivement) dans l'espace-temps, on voit que le processus géométrique est entièrement déterminé par la position de la première collision sur l'asymptote passée.
Il est probable que si l'on n'impose pas que cette position ait une abscisse à droite du sommet, ça donne les collisions d'une boule légère sur une boule massive au lieu d'une boule massive sur une boule légère (elle-même heurtant le mur réflecteur).
La seconde hyperbole c$\mathcal{H}$ est déterminée géométriquement comme devant passer par le point dans l'espace-temps de la première collision et provenant de $\mathcal{H}$ par un changement d'échelle des $x$ (toujours avec asymptotes se croisant en $(0, 0)$).
Cet ensemble de 2 articles est très riche, remarquable en bien des points ! Un humour léger, parfois caustique teinte toutes les démonstrations qui sont exposées avec une précision mathématique rigoureuse. Le texte plaisant à lire, l'auteur possède d'évidentes qualités d'écriture, nous offre un exposé complet et original du problème imaginé par Galperin.
On peut aussi télécharger les documents de Jean-François Burnol ici :
http://pstricks.blogspot.com/2019/04/la-methode-de-ggalperin-pour-calculer.html
En voici une brève présentation.
Dans la première partie sont établis : le nombre de collisions, les vitesses après n collisions(suivant la parité de n), les emplacements des collisions donnés par récurrence et les instants de collisions. Cette partie se conclut par des remarques sur "l’observation amusante de Galperin : pour calculer des décimales de $\pi$ on peut compter les collisions de deux boules de masses différentes convenablement choisies..."
Voici l'illustration du cas particulier où après la dernière collision, la bille $B_1$ reste sur place à la position qu'elle occupait initialement, tandis que la bille $B_2$ part avec la vitesse initiale qu'elle possédait mais dans l'autre sens.
La seconde partie est intitulée "Une limite du système des collisions élastiques de deux boules avec mur réflecteur, lorsque le rapport des masses est infini".
Après un rappel des résultats de la première partie :
Boules $B_1$ de masse $m_1$, $B_2$ de masse $m_2\geq m_1$. La boule $B_1$ est immobile à distance $X$ du mur réflecteur en $x=0$, la boule $B_2$ est animée d'une vitesse $V$ négative et vient heurter $B_1$ par la droite.
L'auteur y introduit la notion de "Ligne d’univers hyperbolique" pour les boules.
Voici quelques idées suivies par l'auteur (il s'agit de son texte, on se reportera au texte complet, ci-dessous un dessin extrait du document pour donner un sens aux propos qui suivent) :
D'abord $B_2$ se déplace le long de l'asymptote dans le passé à l'hyperbole $\mathcal{H}$.
À un certain moment elle heurte la boule $B_1$. Elle prend alors la direction de l'unique tangente à l'hyperbole qui passe par sa position $(x,t)$.
Elle poursuit sur cette tangente au-delà du point de contact jusqu'à se trouver sur une autre hyperbole c$\mathcal{H}$ qui est $\mathcal{H}$ modulo une multiplication des $x$ par un coefficient c.
C'est la deuxième collision avec $B_1$ et la trajectoire est alors modifiée pour suivre à nouveau une tangente à $\mathcal{H}$ etc...
Les paramètres sont liés par la relation suivante :
en supposant que les droites asymptotes à l'hyperbole s'intersectent en $(0, 0)$
Si $X$ est la position du premier choc et $x_0$ celle du sommet de l'hyperbole, alors
$c = \cos(\phi)$ avec $\phi$ l'angle du triangle rectangle de côtés $X$ et $x_0$, soit encore
$\tan(\phi) = x_0/X$,
$\sin(\phi) = x_0/\sqrt{x_0^2+X^2}$,
et donc
$c = X/\sqrt{x_0^2 + X^2}$
Physiquement $X/x_0$ est la racine carrée du rapport des masses.
L'hyperbole étant donnée (d'asymptotes de pentes -V et +V respectivement) dans l'espace-temps, on voit que le processus géométrique est entièrement déterminé par la position de la première collision sur l'asymptote passée.
Il est probable que si l'on n'impose pas que cette position ait une abscisse à droite du sommet, ça donne les collisions d'une boule légère sur une boule massive au lieu d'une boule massive sur une boule légère (elle-même heurtant le mur réflecteur).
La seconde hyperbole c$\mathcal{H}$ est déterminée géométriquement comme devant passer par le point dans l'espace-temps de la première collision et provenant de $\mathcal{H}$ par un changement d'échelle des $x$ (toujours avec asymptotes se croisant en $(0, 0)$).
Cet ensemble de 2 articles est très riche, remarquable en bien des points ! Un humour léger, parfois caustique teinte toutes les démonstrations qui sont exposées avec une précision mathématique rigoureuse. Le texte plaisant à lire, l'auteur possède d'évidentes qualités d'écriture, nous offre un exposé complet et original du problème imaginé par Galperin.
On peut aussi télécharger les documents de Jean-François Burnol ici :
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