Présentation
La revue Tangente vient de sortir son deux-centième numéro ! Il y a un article examinant le nombre 200.sous différents aspects, il y en a peu, mais il se trouve que 200 est l'un des termes de la suite de Padovan, dont on sait que le rapport de deux termes consécutifs tend vers le Nombre Plastique : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_plastique
et ainsi l’auteur de l’article Daniel Lignon, trouve le prétexte pour donner quelques aspects de cette suite dans un paragraphe intitulé “La géométrie du plastique”. Dans le “Pour la Science” n°206 d’août 1996, Ian Stewart, dans un article intitulé “La sculpture et les nombres” sous-titré : “Comme le nombre d’or, le nombre plastique inspire les sculpteurs” développe de façon plus détaillée cette “géométrie” :
« Une autre façon de construire les nombres de Padovan consiste à reproduire l'utilisation des carrés pour les nombres de Fibonacci, mais avec des parallélépipèdes. Partons d'un cube de côté égal à 1, et plaçons à côté de lui un autre cube identique, adjacent par une face. On obtient un parallélépipède dont deux côtés sont égaux à 1, et le troisième côté est égal à 2 (parallélépipède $1\times1\times2$).
Contre la face $1\times2$, plaçons un autre parallélépipède $1\times1\times2$. Nous obtenons un parallélépipède $1\times2\times2$.
Puis, contre une face $2\times2$, plaçons un cube $2\times2\times2$, afin de former au total un parallélépipède $2\times2\times3$.
Contre une face $2\times3$, plaçons un parallélépipède $2\times2\times3$, afin d'obtenir un parallélépipède $2\times3\times4$, et ainsi de suite en ajoutant successivement des parallélépipèdes à l'Est, au Sud, en bas, à l'Ouest, au Nord, et en haut. À chaque étape, le nouveau parallélépipède a pour longueur des côtés trois nombres de Padovan consécutifs. »
Nous allons d'abord donner 3 façons de calculer $\Psi$ avec une précision aussi grande que l'on veut. Jean-François Burnol, a apporté son concours décisif à la mise au point de ces méthodes, puis la représentation géométrique de la suite selon Ian Stewart.
Le texte qui suit n'est qu'un échantillon du document principal et des fichiers annexes que vous trouverez dans l'archive :
http://manuel.luque.free.fr/Nombre-Plastique/Nombre-Plastique.zip
ou
Nombre-Plastique.zip
Le calcul du nombre plastique avec xintexpr
Méthode avec les racines cubiques
\[
\Psi=\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\cdots}}}}}}}
\]
% Ne pas oublier le * !
% Sinon les puissances fractionnaires calculées avec seulement 16 chiffres de précision!
\xintDigits* := 64;% de toute façon la précision de racine cubique pas au-delà
% de 62 chiffres, et 64 chiffres sont conservés au max
\xintdeffloatfunc cbrt(x):=x^(1/3);%
\xintdeffloatfunc plast(x):=(x+1)^(1/3);%
\pdfresettimer
\xintdeffloatvar n := 1;%
\def\x{0}%
\xintloop
\edef\x{\the\numexpr\x+1}%
\xintdeffloatvar m:=plast(n);%
\xintifboolexpr{abs(n-m)>1e-62}{\xintdeffloatvar n:=m;\iftrue}{\xintdeffloatvar n:=m;\iffalse}%
\repeat
\edef\tempsA{\strip@pt\dimexpr\pdfelapsedtime sp}%
$\Psi=\xinteval{n}\quad (\x\textrm{ itérations}, \tempsA s)$
$\Psi= 1.32471795724474602596090885447809734073440405690173336453401505$ (87 itérations, 2.72299s)
Méthode par calculs exacts de 100 décimales
\[
u_0=1\ ;\ u_1=1\ ;\ u_2=1\ ;\ u_n=u_{n-2}+u_{n-3}
\]
\[
U_0=(a_0=1, b_0=1, c_0=1); U_{n+1}=(b_n, c_n, a_n + b_n); \Psi_n = \frac{c_n}{b_n}
\]
\pdfresettimer
\xintdefvar a, b, c := 1, 1, 1;%
\xintiloop [1+1]%
\xintdefvar a, b, c := b, c, a + b ;%
% là aussi faudrait peut-être chercher un critère d'arrêt
% J'ai voulu déterminer par dichotomie en partant de 300 et en réduisant...
% ... c'est rapide mais en fait faut pas baisser en-dessous de 2 * 267
% itérations...
% faudrait faire ça de manière dynamique comme avec les racines cubiques
% mais ça ralentirait...
\ifnum\xintiloopindex<534
\repeat
% afficher la fraction avec 98 chiffres après la virgule (expansion décimale
% sans arrondi juste troncation)
\edef\chiffres{\xinteval{trunc(c/b,98)}}%
\edef\tempsC{\strip@pt\dimexpr\pdfelapsedtime sp}%
\makeatother
Obtenu en \tempsC s et 534 itérations :\newline
$\Psi=\chiffres...\relax$
\makebox[2.5cm][l]{numérateur :} \xinteval{c}
\makebox[2.5cm][l]{dénominateur :} \xinteval{b}
Fraction irréductible :
$\xintTeXFrac{\xinteval{reduce(c/b)}}$
Facteur commun :
$\xinteval{gcd(c,b)}$
Obtenu en 0.185s et 534 itérations :
$\Psi== 1.32471795724474602596090885447809734073440405690173336453401505030282785124554759405469934798178728...$
Le nombre plastique par résolution de l’équation avec 98 puis 199 décimales
Racine réelle de $x^3 = 1 + x $
On aborde le problème avec polexpr. Se souvenir de ses commandes...
\poldef f(x) := x^3 - x -1;
\PolToSturm{f}{f}
\PolSturmIsolateZeros{f}
Le polynôme \PolTypeset{f} possède \PolSturmNbOfIsolatedZeros{f} racines réelles distinctes qui sont situées dans les intervalles suivants : \PolPrintIntervals{f}
Calculer le nombre plastique avec 499 chiffres après la virgule, avec xintsession
Si vous souhaitez utiliser ce calculateur, rendez vous sur :
https://www.ctan.org/pkg/xintsession}{xintsession
La méthode utilisée est celle mise au point par Jean-François Burnol qu'il a intitulée ``Calcul par exponentiation rapide des termes de la suite dite de Padovan'', les fichiers ``padovan-jfbu.tex, padovan-jfbu.pdf'' sont dans l'archive : Nombre-Plastique.zip
Calculer le nombre plastique avec 6000 chiffres après la virgule
Le fichier ``Phi6000.tex'' est à compiler par : etex Phi6000.tex.
Le préambule suivant débute la compilation :
« Bienvenue ! Nous allons calculer Phi avec 6000 chiffres après la virgule.
Un peu de patience est demandée car cela prend environ (sur ma machine à 2GHz) 35 secondes pour trouver Phi puis près de 40 secondes pour valider que$ \Psi^3 =\Psi + 1$ à cette précision.
Vous trouverez après compilation les valeurs dans le fichier Phi6000-out.txt . »
La géométrie plastique
C'est la méthode de Ian Stewart qui est utilisée. Vous allez visualiser ci-dessous dex gifs
Dans le fichier principal l'animation est réalisée avec le package animate d'Amexander Grahn.
les fichiers servant à générer les images des Gifs sont dans l'archive :
http://manuel.luque.free.fr/Nombre-Plastique/Nombre-Plastique.zip
ou
Nombre-Plastique.zip
