Petits tableaux avec les fonctions complexes et PSTricks

 Il s’agit d’utiliser la représentation des fonctions complexes par coloration de régions avec PSTricks en utilisant le package ‘pst-domaincoloring’ et sa commande dédiée : \psDomainColoring[options].

 Sur ce sujet de remarquables réalisations ont été faites par divers auteurs et si je devais en retenir un seul, c’est Juan Carlos Ponce CAMPUZANO et son extraordinaire travail sur :

 https://complex-analysis.com/content/domain_coloring.html

D’autres auteurs méritent aussi des éloges, je donne la liste de quelques-uns d’entre-eux ci-après. Pour ma part, il m’a été impossible d’approcher de la qualité des images de Juan Carlos Ponce CAMPUZANO et d’autres, aussi ai-je opté pour une approche un peu différente d’un point de vue artistique(si ce n’est pas trop prétentieux de l’affirmer) en dessinant les courbes par des dégradés de blanc ou de noir, au choix. 

https://complex-analysis.com/content/domain_coloring.html

https://www.dynamicmath.xyz/domain-coloring/dcgallery.html 

https://en.wikipedia.org/wiki/Domain\_coloring

https://vqm.uni-graz.at/pages/complex/index.html 

https://users.mai.liu.se/hanlu09/complex/domain\_coloring.html

https://www.codeproject.com/Articles/492355/Domain-Coloring-Method-on-GPU 

 Vous ne trouverez donc ici aucune considération mathématique, le site de JuanCarlos Ponce CAMPUZANO est très complet et admirablement illustré sur le domaine des fonctions complexes et qui possède l’énorme avantage de ne nécessiter aucun calcul de parties réelles et imaginaires, il suffit de donner f (z) :

De mon côté, ceci est en quelque sorte la continuation de : 

https://pstricks.blogspot.com/2020/05/petits-tableaux-avec-gegenbauer.html

https://pstricks.blogspot.com/2020/05/petits-tableaux-avec-gegenbauer-version.html 

https://pstricks.blogspot.com/2020/05/peindre-avec-chebyshev-et-pstricks.html

Les exemples qui suivent sont la transposition de quelques exemples de Juan Carlos Ponce CAMPUZANO et des auteurs précédemment cités.

Le fichier pst-DomainColoring.zip peut-être obtenu ici :

  pst-DomainColoring.zip

ou 

http://manuel.luque.free.fr/pst-DomainColoring/pst-DomainColoring.zip 

Dans le dossier exemples, ceux-ci sont à compiler LaTeX->dvips->ps2pdf

La documentation contient la description des options possibles. Voici quelques images obtenues avec le package \psDomainColoring extraites de la documentation ou des exemples.

$f(z)=z^2-1$

 Modèle HSB :

Module :

phase :

module et phase :

$\ln(z)$ :

phase :

Avec pst-contourplot : https://www.ctan.org/pkg/pst-contourplot

 module :

phase+module :

$\sin'z)$ 

phase

phase+ pst-contourplot :

module :

$\tan(z)$

phase :

module :

phase+module

En niveaux de gris avec moins de courbes :

Avec 3 itérations sur $f(z)=z^2-(0.75+0.25i)$ pour les phases :

Tableau en niveaux de gris $f(z)=\dfrac{z-1}{z^2+z+1}$ :

$f(z)=\dfrac{ (z^2 - 1) (z - 2 - i)}{z^2 + 2 + 2i}$

phase :

Avec 3 itérations :

En niveaux de gris :

$f(z)=\mathrm{e}^z-\dfrac{(z-1)}{(z+1)}$

phase :
 

module :

module

$f(z)=\dfrac{ -iz + 1}{-z^2 - iz + 1}$  exemple de :

https://www.dynamicmath.xyz/domain-coloring/dcgallery.html

 phase :

niveaux de gris avec moins de courbes :

module :

phase+module :

Les trochoïdes sphériques avec PSTricks

 Il s’agit de dessiner des trochoïdes sphériques avec PSTricks avec le package ‘pst-sphericaltrochoid’ et sa commande dédiée : \psSphericalTrochoid[options].

 Il existe de très nombreuses réalisations sur ce sujet, j’en citerai trois.
Il y a bien sûr la référence :

https://mathcurve.com/courbes3d/cycloidspheric/trochoidspheric.shtml 

Les formules et c’est magnifiquement illustré.
Patrick Clément s’y est essayé avec Geogebra :

https://www.geogebra.org/m/RCyfhMqw 

mais le fichier source est absent.
De mon côté, j’ai essayé de reproduire le travail effectué par Erik Mahieu avec Mathematica :

https://demonstrations.wolfram.com/SphericalTrochoid/

J’ai apprécié deux avantages par rapport aux précédents : la simplicité du tracé qui ne donne que l’essentiel et surtout la démonstration des équations. Erik Mahieu est l’auteur de nombreuses et remarquables réalisations : 

https://demonstrations.wolfram.com/author.html?author=Erik+Mahieu

Concernant PSTricks, le package ‘pst-sphericaltrochoid’, sa documentation et plusieurs exemples sont accessibles ici :

 http://manuel.luque.free.fr/pst-sphericaltrochoid/pst-sphericaltrochoid.zip

ou

pst-sphericaltrochoid.zip 

Les animations suivantes ont été réalisées avec le package , les fichiers .tex sont inclus dans l'archive zip.

 

 

Rotation, précession et nutation illustrées avec PSTricks

 Ce sont les packages pst-solides3d et animate qui sont utilisés. Afin de créer des animations par une commande simple, j'ai écrit le package pst-nutation dont la documentation et des exemples sont ici :

http://manuel.luque.free.fr/pst-nutation/pst-nutation.zip

ou

pst-nutation.zip 

3 Gifs obtenus avec pst-nutation illustrant, rotation, précession et nutation :

Variations autour du cuboctaèdre avec PSTricks

 Jean-Paul Vignault a mis au point pour  pst-solides3d  quelques remarquables options permettant de travailler avec les solides géométriques. En voici quelques illustrations.

Les fichiers sont ici :

 http://manuel.luque.free.fr/cuboctahedron/cuboctahedron.zip

ou

 cuboctahedron.zip

Pour créer un cuboctaèdre avec pst-solides3d, il existe une méthode très simple :
à partir d'un cube, on utilise l'option [trunc=all] de pst-solides3d avec comme coefficient [trunccoeff=0.5] pour découper les 8 coins du cube.
On rendra la représentation un peu plus attrayante avec les faces transparentes [opacity=0.5] et en permettant de voir l'intérieur [hollow]. Le choix des couleurs est laissé à l'appréciation de chacun. 

Une des particularités du cuboctaèdre est que le rayon de la sphère circonscrite a la même longueur que les arêtes.

 On sait aussi, que l'on peut considérer le cuboctaèdre comme l'intersection d'un octaèdre et d'un cube, 

https://mathcurve.com/polyedres/cuboctaedre/cuboctaedre.shtml

 On peut facilement mettre en évidence les intersections des faces avec pst-solides3d.

 Maintenant, si l'on se tourne vers Wikipedia :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Cubocta%C3%A8dre 

« Les arêtes d’un cuboctaèdre forment quatre hexagones réguliers. Si le cuboctaèdre est coupé dans le plan d’un de ces hexagones, chaque moitié est une coupole hexagonale (ou coupole triangulaire) » 

Ce découpage est aisé à faire avec pst-solides3d. Voici le coupole supérieure :

Un peu plus loin dans la même page, on lit :

« Si les moitiés sont replacées ensemble avec une rotation, alors ces triangles rencontrent les triangles et les carrés rencontrent les carrés, le résultat est un autre solide de Johnson, l'orthobicoupole hexagonale. »

Ici aussi, la manipulation se fait sans trop de difficulté avec pst-solides3d. Mais pour faire la rotation j'ai utilisé une commande que j'avais écrite et illustrée ici :

 https://pstricks.blogspot.com/2013/02/rotation-3d-autour-dun-axe.html

 https://pstricks.blogspot.com/2013/02/rotation-3d-autour-dun-axe-quelconque.html

On reconstitue  l'orthobicoupole hexagonale avec les deux coupoles correctement positionnées.

 

Le voici avec l'option [affinage=all]

Pour aller un peu plus loin, on peut imaginer de tronquer le cuboctaèdre pour réaliser le grand rhombicuboctaèdre, mais c'est ici chose impossible à faire directement avec l'option trunc=all] de pst-solides3d, car les faces du cuboctaèdre étant de deux natures différentes (triangles et carrés) on ne peut obtenir les 12 faces carrées régulières, les 8 faces hexagonales régulières et les 6 faces octogonales régulières par ce procédé.

Voici quand même le grand rhombicuboctaèdre à partir des coordonnées prises sur le site :

https://polyhedra.tessera.li/truncated-cuboctahedron/info