vendredi 26 avril 2019

La méthode de G.Galperin pour calculer π

G. Galperin considère 2 billes ponctuelles de masses $m$ et $M$; $M\geqslant m$.
Elles sont placées sur un axe $Ox$, un mur vertical est en $O$ . Les billes sont disposées initialement ($t=0$), à des distances respectives $x_1(0)$ et $x_2(0)$ avec $x_1(0)>x_2(0)$ du mur.
La bille de masse $M$ est la plus éloignée. On lance la bille (1) de masse $M$ vers la bille (2) avec une vitesse $v_1(0)$, elle va percuter la bille (2),  le choc va modifier les vitesses des deux billes.
Le calcul des vitesses après la collision considérée comme parfaitement élastique, obéit aux deux lois de la mécanique classique : conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique.
La bille (2) va aller percuter le mur et la collision étant parfaitement élastique et instantanée, elle repart avec une vitesse de même valeur mais de sens opposé. Sur son trajet de retour elle percute à nouveau la bille (1) et ainsi de suite jusqu'à ce que la bille (1) s'éloigne sans qu'elle puisse à nouveau entrer en collision avec la bille (2).
G. Galperin montre que si le rapport des masses est $\frac{M}{m}=100^N$, le nombre de chocs entre les billes et entre la bille (2) et le mur, qu'il note $\Pi(N)$ coïncide avec les premiers $N+1$ chiffres décimaux du nombre $\pi$(en incluant 3).
$N=0 \Longrightarrow \Pi(0)=3$
$N=1 \Longrightarrow \Pi(1)=31$
$N=2 \Longrightarrow \Pi(2)=314$
On trouve facilement l'article de G. Galperin sur internet avec la recherche ``Galperin. Playing pool with pi.pdf''.  Le dernier numéro de la revue Pour la Science (Hors-Série), dont le thème est ``L'ordre caché des nombres'' contient un article de Jean-Paul Delahaye dont le titre est ``Le nombre $\pi$ est partout'' dans lequel, parmi d'autres, la méthode de G. Galperin est décrite.
On peut lire cet article sur le site de la revue :
J'ai noté aussi les articles suivants :
où l'auteur donne le code permettant de calculer les collisions avec scilab et que j'ai adapté en postscript pour cette page.
et le très intéressant et détaillé article de Bastien Mallein :
Pour les commandes ayant permis d'illustrer cette page, elles sont dans les fichiers accessibles ici :





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