Point de Monge d'un tétraèdre

Point de Monge d’un tétraèdre, sphère circonscrite, centre de gravité

 

Victor Thébault commence son livre “Parmi les belles figures de la géométrie dans l’espace”, sous-titré (Géométrie du tétraèdre), par l’étude du point de Monge.
«Dans un mémoire intitulé “Sur la pyramide triangulaire” Monge montre que les plans menés par les milieux des arêtes d’un tétraèdre perpendiculairement aux arêtes opposées concourent en un point, et que ce point est le symétrique du centre de la sphère circonscrite à ce tétraèdre par rapport à son centre de gravité.»
Pour une démonstration plus récente, celle publiée dans la revue “Feuille de Vigne n°112” de l’IREM de Dijon par Tristan Deray,

 http://irem.u-bourgogne.fr/publications.html

me paraît excellente.
Gilbert Julia (http://gjmaths.pagesperso-orange.fr/)  propose une belle et concise démonstration :

 http://gjmaths.pagesperso-orange.fr/contenu/cg2015_02.pdf

je cite :
«On pourrait ainsi démontrer, de façon peut-être plus élégante, que les six plans médiaux ont un point commun : puisque les six plans médiateurs ont en commun le centre O de la sphère circonscrite au tétraèdre, les six plans médiaux qui en sont leurs images par la symétrie centrale de centre G ont en commun l’image de O par cette symétrie centrale.»
Voici 2 illustrations de cette propriété, toutes les deux réalisées avec PSTricks, mais dont les calculs sont faits avec postscript pour l'une et avec xint avec l'autre, cette dernière a été écrite par Juergen Gilg.
Tous les fichiers sont dans le répertoire :

MongePointTetrahedron 

Diverses constructions relatives au tétraèdre ont été ajoutées dans des fichiers séparés : trace des plans médiaux, des plans médiateurs et coupes du tétraèdre suivant ces plans.
Quelques images :
Un tétraèdre et les milieux des arêtes.

Un tétraèdre, la sphère circonscrite, point de Monge et centre de gravité.

Les coupes d'un tétraèdre par les 6 plans médiaux, en voici une :

 Les traces des plans médiateurs, en voici une :

Les coupes d'un tétraèdre par les 6 plans médiateurs, en voici une :

Une image réalisée par Juergen Gilg avec PSTricks et xint :