Deux courbes roulant l’une sur l’autre, chacune tournant autour d’un point fixe

Auguste Miquel est l’auteur de l’article fondateur de la théorie des courbes roulant l’une sur l’autre. Son article intitulé “Sur quelques questions relatives à la théorie des courbes” est paru dans le Journal de mathématiques pures et appliquées, en 1838. Après avoir posé les conditions de roulement de 2 courbes tournant chacune autour d’un point fixe, l’une sur l’autre sans glissement, Auguste Miquel fait une très intelligente démonstration, avec un minimum de calculs, pour établir, une courbe (1) étant donnée, l’équation d’une deuxième courbe conjuguée (2). En référence, étymologiquement, à l’expression en grec(tourner ensemble), il qualifie ces 2 courbes conjuguées de syntrépentes. La démonstration d’Auguste Miquel est remarquable, je la reproduis dans le document en hommage à l’auteur en modifiant simplement quelques notations.
Dans son livre “Cours de Mécanique”, Henri Bouasse traite aussi de ce problème dans les pages 103, 104 et 105, le chapitre est intitulé “Courbes roulantes”. Henri Bouasse donne le résultat pour la courbe conjuguée d’une ellipse mais pas de démonstration, cependant il fait une généralisation intéressante.
Plus proche de nous, Robert Ferréol sur son site, fait un exposé très complet de ce problème et donne des solutions illustrées par de superbes schémas et animations. Robert Ferréol ne donne pas non plus de démonstration, mais il formule le résultat pour les courbes syntrépentes à une ellipse sous une forme très sympathique. À la suite de la démonstration d’Auguste Miquel, je fais un lien avec l’expression donnée par Robert Ferréol des courbes syntrépentes à une ellipse.

http://sites.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1838_1_3_A17_0
http://www.mathcurve.com/courbes2d/engrenage/engrenage.shtml

J’ai écrit une commande \psSyntrepentCurves[options] pour le dessin et l’animation des courbes syntrépentes à une ellipse.
Vous trouverez dans le fichier(tous les liens et le détail des explications) dans le sous-dossier (pst-sce-version2/) (pst-sce-version2/SyntrepentCurves.pdf et pst-sce-version2/SyntrepentCurves.tex) :

 courbes-roulantes

et d'autres exemples dans le fichier (SyntrepentExamples.tex et SyntrepentExamples.pdf courbesroulantes.bib).

Un package (pst-sce-version2.zip dans le sous dossier pst-sce-version2)  est dédié à l'ellipse et à ses courbes syntrépentes :


Mise à jour du 13 juin : pst-sce-version4.zip dans le sous-dossier pst-sce-version4 :

courbes-roulantes

 

Vous y trouverez aussi la documentation mise-à-jour et les exemples.

Voici quelques animations réalisées avec la commande dédiée :